Lieux avec module (4) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser et tracer les ensembles suivants.

1. \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert z -3i \right\vert = \left\vert \sqrt{2} + i \right\vert \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert \overline{z} -7+i \right\vert =2 \right\rbrace\)

3. \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert 3z -1+ 2i \right\vert = 4 \right\rbrace\)

4. \(\mathscr{E}_4=\left\lbrace \text M(z) \colon \left\vert (2+i) z-5-2i \right\vert =3 \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=3i\) . 
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\left\vert z-(3i) \right\vert = \left\vert \sqrt{2} +i \right\vert\Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}\Longleftrightarrow \text A\text M = \sqrt{5}\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(\sqrt{5}\) .

2. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=7+i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_2& \Longleftrightarrow\left\vert \overline{z} -7+i \right\vert = 2\Longleftrightarrow\left\vert \overline{z-7-i} \right\vert = 2\Longleftrightarrow\left\vert z-7-i \right\vert = 2\Longleftrightarrow\left\vert z- (7+i) \right\vert = 2\Longleftrightarrow \text A\text M = 2\end{align*}\) donc \(\mathscr{E}_2\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(2\) .

3. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A= \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3} i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a : 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_3& \Longleftrightarrow\left\vert 3 \left( z + \frac{-1+2i}{3} \right) \right\vert = 4\\ & \Longleftrightarrow\left\vert 3 \right\vert \left\vert z - \left( \frac{1}{3}- \frac{2}{3}i \right) \right\vert = 4\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z - \left( \frac{1}{3}- \frac{2}{3}i \right) \right\vert = \frac{4}{3}\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = \frac{4}{3}\\ & \Longleftrightarrow \text A\text M = \frac{4}{3}\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est le cercle de centre \(A\) et de rayon \(\dfrac{4}{3}\) .

4. On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A= \dfrac{12}{5} - \dfrac{1}{5} i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a : 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_4& \Longleftrightarrow\left\vert (2+i) \left( z - \left( \frac{5+2i}{2+i} \right) \right) \right\vert = 3\\ & \Longleftrightarrow\left\vert 2+i \right\vert \left\vert \left( z - \left( \frac{5+2i}{2+i} \right) \right) \right\vert = 3\end{align*}\)

Or  \(\left\vert 2+i \right\vert =\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}\)

et  \(\dfrac{5+2i}{2+i} = \dfrac{(5+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \dfrac{10-5i+4i+2}{2-i} = \dfrac{12}{5} - \dfrac{1}{5} i\)
Donc 
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_4& \Longleftrightarrow\left\vert z - \left( \frac{5+2i}{2+i} \right) \right\vert = \frac{3}{\sqrt{5}}\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = \frac{3}{\sqrt{5}}\\ & \Longleftrightarrow \text A\text M = \frac{3}{\sqrt{5}}\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_4\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\) .